Data jumlah cacat rata-rata suatu produk
|
1.2
|
2
|
1.46
|
1.39
|
1.77
|
|
1.5
|
2.09
|
1.54
|
1.42
|
1.61
|
|
1.54
|
189
|
1.42
|
2.08
|
1.25
|
|
2.7
|
1.8
|
1.57
|
1.85
|
1.15
|
|
1.95
|
1.25
|
1.4
|
1.82
|
1.37
|
|
2.4
|
1.58
|
1.51
|
2.07
|
1.79
|
|
3.44
|
2.25
|
1.08
|
2.32
|
1.68
|
|
2.83
|
2.5
|
1.27
|
1.23
|
1.78
|
|
1.76
|
2.05
|
1.18
|
2.91
|
1.84
|
Tabel 1. Data jumlah cacat rata-rata suatu produk
Sumber Wei, William W,S 1990 Time Series Analysis Addison-Wesley
Publishing Company
2. Plot time series
Gambar 1. Plot time series kecacatan produk sumbu x mewakili waktu
dan y mewakili banyaknya produk cacat. 45 data di atas menunjukkan pola musiman
karena tidak ada pola yang teratur.
3. Indentifikasi model
Membuat ACF
Autocorrelation
Function: kecacatan
Autocorrelation
for kecacatan
Tabel.
2 Autocorrelation for kecacatan
Gambar 2. Grafik Autocorelation Function
Interpretasi ACF
Tabel 1 dan gambar 2 menunjukkan 11 lag. Dalam Minitab menampakkan
lag sebanya n/4 untuk pengamatan (n)≤240. Dalam kasus ini 45/4=11,25 oleh
karena itu Minitab menggambarkan 11 lag. Output di windows session menunjukkan
pula nilai ACF, statistik T, dan Ljung-Box Q. Kemudian gambar di atas
menampilkan uji hipotesis yang ditunjukkan dalam selang kepercayaan untuk
α=0,05 dan tampak dalam output grafik dalam gambar 2.
Dalam kasus ini menggunakan α=5%. Pada tabel distribusi normal,
dalam tabel distribusi normal kita ketahui nilai z yang hampir mendekati p=5%
adalah 1.645. oleh karena itu nilai z yang digunakan sebagai patokan adalah
statistik
. Statistik T
digunakan untuk uji hipotesis yang mendeteksi korelasi pada lag ke
(k adalah lag)
Hipotesis
-
Hipotesis
awal adalah antara
dengan
tidak ada korelasi (
)
-
Hipotesis
alternatifnya adalah antara antara
dengan
ada korelasi (
)
Interpretasi Analisis Autokorelasi
Tabel 1 menunjukkan nilai statistik Tsetelah lag 1 bernilai 2,88.
Nilai melebihi
. Grafik pada
gambar 2 menunjukkan lokasi statistik T jatuh di daerah penolakan. Ini berarti
pada lag 1 atau antara antara
dengan
secara statisis ada korelasi (
) cukup
berarti. Selain lag 1, korelasinya secara statistik tidak berarti (
).
Pada gambar 2 menunjukkan korelasinya pada lag
1 melewaati garis merah. Garis merah adalah selang kepercayaan yang merupakan
garis batas signifikansi autokorelasi. Kemudian, output menunjukkan bahwa
nilai-nilai outokorelasi membentuk pola yang turun eksponensial pada nilai
autokorelasi positif. Pola seperti ini berarti dapat dijadikan petunjuk awal
mendeteksi model time series.
Menghitung PACF
Partial
Autocorrelation Function: kecacatan
Tabel 2. Partial Autocorrelation for kecacat
Gambar 3. Grafik PACF
Interpretasi PACF
Sama seperti ACF pada gambar 3 menunjukkan bahwa setelah lag 1 PACF
turun. Disaamping itu, pada lag 1, PACF tampak keluar dari selang kepercayaan.
Jika ACF turun eksponensial dan PACF turun setelah lag 1, itu berarti ada
indikasi modelnya adalah model autoregresive. Karena PACF turun pada lag 1 maka
perkiranaan model autoregresive berorde 1 atau AR(1). Dari identifikasi di atas
dapat diketahui perkiraan model time series adalah model ARIMA (1,0,0) atu
AR(1).
Menaksir koefisien
ARIMA Model: kecacatan
Estimates at
each iteration
Iteration SSE
Parameters
0 11,2419
0,100 1,700
1 10,0858
0,250 1,393
2 9,5649
0,400 1,086
3 9,5316
0,436 1,006
4 9,5309
0,441 0,995
5 9,5309
0,442 0,993
6 9,5309
0,442 0,993
Relative change
in each estimate less than 0,0010
Final Estimates
of Parameters
Type Coef
SE Coef T P
AR 1
0,4421 0,1365 3,24
0,002
Constant 0,99280
0,06999 14,19 0,000
Mean 1,7795
0,1254
Number of
observations: 45
Residuals: SS =
9,47811 (backforecasts excluded)
MS = 0,22042
DF = 43
Modified
Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic
Lag 12 24
36 48
Chi-Square 4,9
8,9 30,9 *
DF 10 22
34 *
P-Value 0,899
0,994 0,620
Tabel
3. Model arima
Interpretasi ARIMA
Gambar 3 menampilkan hasil iterasi (Estimates
at each iteration) untuk menaksir sum square error (SSE) dan taksiran
parameter model. Dalam hal ini ada dua parameter yaitu parameter konstanta dan
parameter AR(1) berupa
. Output
menunjukkan 6 iterasi sehingga memperoleh SSE dan parameter model yang dapat
meminimumkan model. Kemudian, hasil iterasi ditunjukkan kembali dalam tabel
taksiran parameter model di bawaknya. Tabel taksiran parameter menunjukkan
konstanta sebersa 0,9928, sedangkan parameter
=0,4421. Bila
melihat kembali iterasi di atasnya, kedua nilai sama dengan hasi iterasi
keenamnya.
Uji statistik parameter-parameternya dilakukkan
menggunakan statistik t atau nilai p-value. Apabila menggunakan statistik t,
dibutuhkan tabel t atauz (apabila jumlah pengamatan ≥ 30). Namun apabila
menggunakan p-value, bisa membuat kesimpulan tanpa harus melihat tabel p-value
karena cukup membandingkan dengna level toleransi (α) yang akan digunakan dalam
uji hipotesis.
Tahap awal menginterpretasikan output analisis
time series adalah melihat parameter model yang telah dimodelkan yaitu AR(1)
yang melibatkan konstanta di dalamnya. Jadi, ada 2 parameter dalam model.
Secara umum, signifikasi konstanta tidak perlu diuji sehingga di sini yang
diuji adalah autoregressive (
).
Hipotesis
-
Hipotesis
awal mengatakan bahwa parameter AR tidak cukup signifikan dalam model, sed
-
Hipotesis
alternatif mengatakan bahwa parameter AR cukup signifikan dalam model.
Daerah
Penolakan
atau p-value
Interpretasi
Hasil
Level toleransi (
yang digunakan
adalah 5%. Berdasarkan tabel taksiran parameter, hasil pengolahan data yang
ditunjukkan statistik T untuk parameter AR(1) atau
adalah 3.24 pada
=5%, statistik
z adalah 1,645. Bila statistik T dibandingkan dengan nilai z, maka nilai statistik
T lebih beas. Nilai T sebbesar 3,24 menyebabkan p-value menjadi 0,02,
berdasarkan informasi, maka dapat disimpulkan bahwa dalam AR(1), parameter
cukup signifikan. Jadi, persamaan modelnya
adalah
Bahwa tabel taksiran parameter model
menunjukkan besarnya mean square error (MSE) model sebesar 0,22 dan derajat
bebas (df) model time series sebesar 43 (45-2,dimana 2 adalah banyaknya
parameter dalam model). MSE merupakan suatu kriteria untuk memilih model
semakin baik. Namun, kriteria tidak sensitif terhadap pertambahan parameter
dalam model sehingga apabila digunakan sebagai kriteria terhadap jumlah
parameter antara lain Akaike’s Information Criterion (AIC), Bayesian
Information Criterion (BIC), Schwartz’s Bayesian Criterion (SBC), dan Parzen’s
CAT.
Diagnosis
Model
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square
statistic
Lag
12 24 36
48
Chi-Square
4,9 8,9 30,9
*
DF
10 22 34
*
P-Value
0,899 0,994 0,620
*
Tabel
4. Hasil uji Ljung-Box
Ljung-Box digunakan untuk mendeteksi
adanya korelasi antar-residual. Dilakukan uji Ljung-Box karena dalam time
series ada asumsi bahwa residual mengikuti proses white noise yang berartu
harus independen (tidak korelasi) dan berdistribusi normal dengan rata-rata
mendekati 0 (
) dan standar
deviasi (
) tertentu.
Langkah-langkah
mendeteksi adalanya white noise
1.
Uji
Korelasi
Uji korelasi digunakan untuk
mendeteksi independensi residual. Uji Indepenensi residual digunakan utnuk
mendeteksi residual antar-lag. Dua lag dikatakan tidak korelasi apabila
antar-lag tidak ada korelasi cukup berarti. Dalam time series, uji dilakukan
dengan menggunakan statistik Ljung-Box-Piere.
Hipotesis
(Ada korelasi antar-lag)
Minimal ada 1 lag yang
2.
Uji
Kenormalan Residual Model
Uji menggunakan
statistik chi-square (
). Daera
penolakannya adalah:
Satistik
Ljung-Box-Piere
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dimana df (derajat bebas) ditentukan oleh df=K-k. Dalam hal ini, K berarti pada lag K dank adalah jumlah parameter model. Daerah penolakan dalam bentuk grafk ditunjukkan gambar 6. Grafi menggambarkan derah penolakan =5% pada grafik statistik untuk df=10.
Gambar
4. Daerah penolakan 5% untuk distribusi
pada df=10.
Interpretasi
Output Diagnosis Model
|
Lag (K)
|
df(K-k)
|
|
p-value
|
|
12
24
36
|
10(12-2)
22(24-2)
34(36-2)
|
18,307
33,920
48,602
|
0,899
0,994
0,620
|
Tabel 5. Uji
prosesLjung-Box-Pierce
Dari
hasis di atas menunjukkan bahwa pada lag 12, kesimpulan yang bisa diambil
adalah tidak ada korelasi antara residual pada lag t dengan residual pada lag
12 karena statistik Ljung-Box-Pierce tidak lebih dari statistik
. Begitu pula
untuk lag 24 dan 36, nilai statistik Ljung-Box-Pierce tidak melebihi
dan
. Artinya,
antara residual pada lag t dengan residual pada (sampai) lag 36, tidak ada yang
saling berkorelasi. Dapat disimpulkan bahwa residual teleh memenuhi asumsi
idependensi.
Gambar
5. ACF residual model AR(1)
ACF
residual menunjukkan bahwa ada 1 lag yang keluar batas. Dapat disimpulkan bahwa
residual model indenpenden.
Peramalan
Apabila
hasil pemodelan telah signifikan dan memenuhi asumsi yang disyaratkan, berarti
bisa diandalkan. Model AR(1) untuk data
pada tabel dapat dijadikan peramalan data ke depan.
Tabel
6. Hasil peramalan modelAR(1) untuk data tabel 1
Dalam tabel 1 sebanyak 45, sedangkan tabel 6
menunjukkan periode peramalan dilakukan mulai periode 40 sampai periode 50. Ini berarti peramalan
dilakukan untuk 5 periode sebelumnya
sebelum periode 45 dan 5 periode ke depan setelah periode 45.